Сложной функции понятие

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров. При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования так что держите их перед глазами. К примеру, пусть f функция арктангенса, а g x lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f g x представляет собой arctg lnx Еще пример f функция возведения четвертую степень, а целая рациональная функция смотрите классификацию элементарных функций, тогда. Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций. Операция образования сложной функции или композиция функций не обладает переместительным свойством. Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило виде такой схемы. Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ Понятие сложной функции. Грани числовых множеств Будем говорить, что множество Х ограничено сверху снизу, если существует число d, такое, что для любого.

сложной функции понятие

Основные свойства определенного интеграла 1 Интеграл был определен для случая, когда a b Обобщим понятие определенного интеграла и на дру гие случаи. Дневная выработка Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи тельностью восемь часов, если производительность труда течение дня меняется по эмпирической формуле. Однородные уравнения второго порядка Рассмотрим линейное однородное уравнение где и q вещес. Умножение матриц 1 Умножение матриц это специфическая операция, со ставляющая основу алгебры матриц Строки и столбцы мат риц можно рассматривать как векторыстроки и векторыстол бцы соответствующих размерно. Формулы Байеса Пусть события B1, B2 Вп несовместны и образуют пол ную группу, а событие А может наступить при условии появ. Выборки На практике сплошное исследование каждого объекта из интересующей нас совокупности проводят крайне редко К то му же если эта совокупность содержит большое число объек тов или. Полигон и гистограмма Каждую пару значений xi, ni из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости Точ но так же можно рассматривать. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия Предприятие располагает тремя производственными ре сурсами сырьем, оборудованием, электроэнергией и может организовать производство продукции двумя различными спо собами Расход. Решение двойственных задач Решение симметричных задач Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой ственности.

сложной функции понятие

Общая постановка задачи Транспортная задача одна из распространенных задач линейного программирования Ее цель разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок а1 100, а2 200, a3 100 и четыре потреби теля с объем. Поведение элементарных функций лучше всего иллюстрируется с помощью графика, поэтому и для исследования сложной функции наилучший, как мне кажется, подход это дать представление о ее графике, построенном с использованием графиков внутренней и внешней функций. Аналогичные задания приводятся и учебнике 3, но практика показывает, что если ограничиваться только рассмотрением формул, то от восприятия учеников ускользает структура самой композиции функций, последовательность переходе от одного шага к другому, итоге исчезает математическая суть сложной функции. Укажем область определения D y 2 U 2 Заметим, что это четная функция. График исходной сложной функции будем строить системе координат. Чтобы детям лучше был понятен этот переход, соответствующие участки на чертежах подчинены анимационным эффектам слайд 10 Участки появляются по щелчку мыши последовательно, друг за другом, определенном цвете В результате системе координат, у выделяется промежуток 2 на оси абсцисс, а по оси ординат ему соответствует промежуток 0, функция возрастает И появляется первый участок искомого графика.

Начинаем с анализа изменения переменной Для каждого участка изменения указываем, как изменяется переменная t а затем переменная. То, что нужны именно эти участки, можно объяснить поведением рассматриваемых функций Мы должны указать такой участок для x на котором характер изменения t не меняется либо только увеличивается, либо только уменьшается, то есть важна монотонность внутренней функции, а при соответствующих t монотонность внешней функции тоже дает однозначный ответ, то есть можно определенно указать, что значения у либо увеличиваются, либо уменьшаются Для простоты расчетов участки монотонности иногда дробятся на два данном случае учитываются нули пересечение графика с осью абсцисс Но характер монотонности на каждом отдельном участке постоянен. После того, как сознании учеников понятие сложной функции будет сформировано, можно проводить уроки по теме Взаимно обратные функции профильных классах, а также переходить к формуле производной сложной функции если уже изучается тема Производная. Выделяем внешнюю и внутреннюю функции Замечаем, что внутренняя функция изменяется от 2 до 4 так как 1 sinx 1 Значит Отсюда следует важный факт внешняя функция определена только для значений аргумента от 2. Работа учителя математики посвящена тому, чтобы не только облегчить ученикам восприятие трудного материала, но и дать им возможность почувствовать ту упорядоченность и красоту, которая всегда встречается математике.

Выготский Л С Вопросы детской возрастной психологии Собрание сочинений 6 М Педагогика, 1984. Будем говорить, что функция f x непрерывна интервале а b, если она непрерывна каждой точке этого интервала непрерывна на отрезке а b, если она непрерывна интервале а b и непрерывна точке x а справа, а точке x b слева Простейшим примером функции, непрерывной любой точке 0 числовой прямой, может служить постоянная функция f x c Действительно, этом случае постоянная функция непрерывна каждой точке числовой прямой Функция f x x непрерывна также каждой точке 0 числовой прямой, так как предел функции точке 0 равен ее значению этой точке Из сказанного следует, что любой точке 0 функции 2 x 3 2 x, n x n 1 x n натуральное число непрерывны Функция f x x n называется степенной, а функция вида P n C 0 x n C 1 x n 1 C 2 x n 2 C n 1 x C n называется алгебраическим многочленом, где n 0 целое число С 0 С 1 С 2, С n любые числа Каждое из слагаемых слагаемых выражении многочлена P n C 0 x n C 1 x n 1 C 2 x n 2 C n 1 x C n является непрерывным любой точке Дробно рациональная функция где p m и q n алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках числовой оси, которых ее знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим тригонометрические функции sin cos tg ctg sec x cosec Функция sin непрерывна любой точке числовой прямой Рассмотрим разность, если x x 0 мало, то sin x sin x 0 тоже достаточно мало 0, x 0 0 x x 0 sin x sin x 0 Таким образом, функция sin x непрерывна любой точке числовой оси Непрерывность функции cos x любой точке числовой оси доказывается аналогично Рассмотрим разность если x x 0 мало, то cos x cos x 0 тоже достаточно мало 0, x 0 0 x x 0 cos x cos x 0 Из непрерывности функций sin x и cos x следует непрерывность функций tg x и sec x во всех точках, где cos x 0, во всех точках, кроме p 2 p k k Z, и функций ctg x и cosec x во всех точках, кроме p k k.

сложной функции понятие

Пусть функция f x определена и непрерывна на отрезке a b Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f a A, f b B, то, каково бы ни было число m A, B, найдётся такая точка с a b, что f c m рис 5 17 Как частный случай имеет место следующее утверждение Пусть функция f x непрерывна на отрезке a b и на концах отрезка имеет значения разных знаков Тогда существует внутренняя точка отрезка с a b, которой f c 0 Данная теорема имеет простой геометрический смысл непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, другую, пересекает эту ось рис 5 18 Теорема Если функция f x определена и непрерывна на отрезке a b то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями Д о к а а с о Будем считать, что А m B Рассмотрим на промежутке а b вспомогательную функцию x f x m Эта функция непрерывна на промежутке а b и на концах его имеет разные знаки a f a m A m 0 и b f b m B m 0 Тогда, по второй теореме Больцано Коши, между a и b найдётся точка с для которой c m Что и требовалось доказать. Можно ли утверждать, что, если функция f x непрерывна на отрезке а, b и на концах отрезка имеет значения одного знака, то на а, b нет такой точки, которой функция обращается нуль Приведите пример. Может ли ограниченная на отрезке функция принимать значения своих точных граней.

При определении сложной функции мы предполагали, что у есть функция от u Следовательно, и принимает лишь такие значения, для которых функция определена Но тогда и значения надо брать лишь такие, для которых соответствующие значения и входят область определения функции Например, сложная функция определяется лишь для тех значений для которых так как логарифмическая функция определена лишь для положительных значений ее аргумента. Производная С равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу Это правило цепное правило распространяется на С с двумя, тремя и промежуточными аргументами если у f u 1, u 1 φ u 2 u k1 φ k1 u k, u k φ k x. Комплект таблиц Алгебра и начала анализа 10 класс 17 таблиц методика Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 980 мм В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя Учебный альбом из 17 листов Подробнее Купить за 3944. Пересечением или произведением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В Пересечение произведение множеств обозначают А В или А В Кратко можно записать. Отсюда следует, что m 2 а значит, и m четное число, m 2k Подставив m 2k равенство m 2 2n 2 получим 4k 2 2n 2 2k. Графиком функции у называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых является значением аргумента, а у соответствующим значением функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции аналитический, табличный, графический. Аналитический способ функция задается виде одной или нескольких формул или уравнений. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента, непосредственно находятся из этого графика. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или результате наблюдений. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной относительно начала координат. Теорема Пусть на одном и том же множестве заданы функции f x и g x непрерывные точке a Тогда функции f x g x f x g x f x g x и f x g x непрерывны точке a случае частного нужно дополнительно требовать. Теперь рассмотрим функцию f x x n где n натуральное число, тогда f x x x x Перейдем к пределу при x a получим, то есть функция f x x n непрерывна на числовой прямой. Функции y arcsin x и y arccos x непрерывны на отрезке 1, 1 Функции y arctg x и y arcctg x непрерывны на бесконечной прямой. Эти неравенства справедливы также и для значений x удовлетворяющих условиям 2 x 0 Это следует из того, что cos x cos x и Так как cos x непрерывная функция, то Таким образом, для функций cos x 1 и некоторой окрестности точки x 0 выполняются все условия теорем Следовательно.

Если функция y f x такова, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения у функции, то переменную можно выразить как функцию переменной у x g y Функцию g называют обратной к f и обозначают. Пределом фии y f x точке x 0 или при x x 0 назют число а, если для любой послти n значений аргумента, сходящейся к 0 при этом все x n x 0, послть n значений фии сходится к пределу. Разработка урока снабжена авторской презентацией, которая на всех этапах урока помогает визуализировать учебный материал, а также осуществить первичное закрепление и контроль усвоения во время объяснения нового материала, во время первичного закрепления и отработки навыков при решении задач путем дозированной информации, выводящейся на слайдах поэтапно. Итак, еще раз обращаю ваше внимание, что функция, это прежде всего некоторое соответствие между множеством Х независимых переменных и множеством У значений функции, при этом обязательно нужно помнить что каждому значению соответствует единственное значение. Для определения какая функция является внутренней, а какая внешней нужно задать вопрос каком порядке будут выполнены действия при необходимости вычисления значения функции по заданному аргументу. Как мы уже говорили, сложная функция это композиция функций Построим графики внутренней и внешней функции координатных осях XOG и GO У Для этого составим таблицы значений каждой функции Заполните таблицы индивидуальных картах 2 минуты.

Возьмем некоторое 0 0 и по первому графику найдем соответствующее ему значение g 0 1, затем по второму графику для g 0 1, найдем у 0 1 2 и построим новой системе координат точку с координатами 0 1 2 Аналогично, можно построить и другие точки x 1 1 g 1 0 y 1 1 1 1, учитывая четность функции, получаем точку 1 1 И строим эскиз графика сложной функции. Если f и g дифференцируемые функции, то сложная функция y f left right также дифференцируема по x и ее производная равна frac left right left x right f left right g left x right frac Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции Важно иметь ввиду, что производная внутренней функции вычисляется точке x, а производная внешней функции точке u g left. Возьмем произвольную точку Будем считать, что функция u g left x right дифференцируема точке, а функция y f left u right, соответственно, дифференцируема точке g left right Это означает, что указанных точках существуют производные g left x right и f left u right, а функции g left x right и f left u right являются непрерывными некоторой окрестности этих точек. В математике сложной функцией называют функцию от функции, когда функция зависит от аргумента не непосредственно, а через промежуточную функцию. Это мы уже обсуждали если функция где некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента функция нисколько не изменяется А значит.

Не поверишь, но это степенная функция Если у тебя возникли вопросы типа Как это А где же степень, вспоминай тему Степень и ее свойства Дада, корень это тоже степень, только дробная Значит, наш квадратный корень это всего лишь степень с показателем Производную ищем по недавно выученной формуле Если этом месте снова стало непонятно, повторяй тему Степень и ее свойства про степень с отрицательным показателем. Видим, что при функция не существует точка на графике выколота Но чем ближе к значению тем ближе функция к Это и есть то самое стремится. Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например. Давай создадим подобный математический конвейер сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить квадрат Итак, нам дают число шоколадка, я нахожу его косинус обертка, а ты затем возводишь то, что у меня получилось, квадрат обвязываешь ленточкой Что получилось Функция Это и есть пример сложной функции когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось результате первого. Другими словами, сложная функция это функция, аргументом которой является другая функция. Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней. Здесь вложенность вообще 4уровневая Давай определим порядок действий. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с.

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и. К линиям первого порядка относятся те линии, для кото рых задающее их уравнение 3 9 содержит переменные x и у только первой степени Иными словами, такие линии описы ваются уравнениями вида. Рассмотрим здесь три наиболее используемыxвида линий эллипс, гиперболу и параболу. Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F 1 и F 2 по стоянна рис. В частном случае, когда a b фокусы эллипса сливаются, с 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром начале координат Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет величина, определяемая отношением. Согласно определению, вторая производная это первая производная от первой производной, то есть Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных Теперь найдем производную от производной первого порядка Это будет искомая производная второго порядка. Например, функция определена на интервале, но для того, чтобы ввести понятие обратной функции необходимо рассмотреть функцию либо на полуинтервале, либо, где функция будет взаимнооднозначной, и следовательно обратимой. Таким образом, если функция монотонна, то она взаимнооднозначна, следовательно, обратима. Показательные и логарифмические функции непрерывны области своего определения.

Всякая элементарная функция непрерывна каждой точке, которой она определена. Например, функция есть суперпозиция двух функций и Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов. В общем случае, если функция z g x определена на множестве X а функция y f z определена на множестве Z то сложная функция у f g будет определена на множестве Х лишь тогда, когда множество значений функции g x будет входить область определения функции. Понятие сложной функции позволяет значительно расширить множество элементарных функций К элементарным функциям принято относить простейшие элементарные функции 1 7, а также все функции, которые получаются из простейших с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно применённых конечное число. Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения функции достаточно малой окрестности некоторой точки x 0 или при В связи с этим возникло понятие предела функции при и при В зависимости от поведения функции y f x геометрически возможны следующие ситуации рис. Стрелки на графике функции иллюстрируют тот факт, что функция не определена точке. Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных. Разработка урока по теме Производная степенной функции Применение производной решении задач физики 11 класс. Разработка урока по теме Производные тригонометрических функций Конспект и карточки с задачами и тестами.

Так как на реальные системы воздействует большое число случайных факторов, для прогнозирования поведения слож ной системы необходимо использовать теорию вероятностей Таким образом, параметры моделей прогноза могут быть оха рактеризованы законами распределения Случайные откло нения системы от нормального режима функционирования определяются возмущающими факторами внешней среды и возмущающими факторами, возникающими внутри системы. Таким образом, сложная система состоит из отдельных подсистем и является целостным объектом, отдельные части которого функционируют во взаимодействии С формальной точки зрения любая совокупность элементов системы может считаться подсистемой В практике исследования выделение подсистемы проводится таким образом, чтобы цели функционирования подсистемы вытекали из целей функциониро вания системы. Таким образом, эффективность выработки решения за данное время во многом зависит от эффективной организа ции работы вычислительного центра, где проводится обра ботка поступающей информации. Тема Функция понятие, способы задания, основные характеристики Обратная функция Суперпозиция функций. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию. Производная или дифференцирование функции Задачи, приводящие к понятию производной.

Заметим, что пределе секущая имеет с плоской гладкой линией единственную точку, называемую точкой касания а точках линий, содержащих угловые точки, узловые точки и точки заострения, предельные положения секущих не совпадают. Пусть на отрезке a, b задана функция у у x Пусть х 0 произвольная внутренняя точка этого отрезка, а y 0 соответствующее значение функции точке х 0 Придадим приращение x такое, чтобы не выйти за пределы заданного отрезка Обозначим через y x 0 x новое значение заданной функции, а через y 0 приращение функции у у. Для нахождения искомых линий достаточно найти производную заданной функции при. Следствие 2 Производная произведения любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первой функции на все остальные плюс производная второй функции на все остальные и плюс производная последней функции на все остальные. В силу существования предела справа предел слева тоже существует и по определению называется о имеем Если функция у f на множестве Х дифференцируема, то точках, где ее производная отлична от нуля, обратная функция φ у дифференцируема и равна обратной величине производной прямой функции у f. Возьмем от обеих частей равенства 81 производную по воспользовавшись формулами 72. Возьмем от обеих частей равенства 86 производную по воспользовавшись формулой 73 и производной произведения. При нахождении производных сложных функций дальнейшем мы будем пользоваться соответствующими формулами дифференцирования сложных функций.

Перечислите наименования точек разрыва производной непрерывной функции. Функцию называют бесконечно большой при Х, стремящемся к Х 0 если для любой последовательности. В ряде случаев чтение реферата заменяет изучение исходного документа Точно так же чтение статьи позволяет обойтись без воспроизведения описываемого ней эксперимента Тем не менее реферат не равносилен документу, а статья может не содержать всей необходимой читателю информации о тех фактах, которым она посвящена. Значок для известной математической константы вообще является чистой условностью, с равным успехом могла бы быть взята любая другая буква Но было бы очень трудно и неразумно попытаться изменить принятую традицию. Концепт показывает, насколько отношение знака к денотату не случайно, а обусловлено стремлением определить денотат том или ином аспекте На уровне концепта мы отвлекаемся от обстоятельств конкретной знаковой ситуации и переходим к систематическим приемам обозначения Но можно подойти к этому и с противоположной точки зрения особенности знаковой ситу ации диктуют тот или иной выбор знака с учетом присущего ему концепта Эти точки зрения не противоречивы, но взаимно дополнительны, они описывают разные стороны связи концепта и денотата. В экстенсиональной трактовке знак это метка, бирка предмета или события, выделяющие его среди других.

Если знаки всегда любых ситуациях, любом мыслимом универсуме совпадают, то это и есть интенсиональное совпадение Равенство выражений 2х2 и 4 сохраняется для любого мыслимого мира, поскольку мы и мыслях не можем выйти за пределы логики. Важнейшей особенностью систем как кибернетических объектов является информационная природа тех объединительных связей, которые и позволяют воспринимать систему как единый целостный объект. Область фазового пространства, за пределы которой не может выходить изображающая точка, называют областью допустимых состояний системы Ее называют также полем системы Последнее включает себя всевозможные фазовые траектории, линии поведения системы. Если принять каждое из этих чисел качестве координаты многомерном пространстве символов, то объект будет представлен этом пространстве точкой, или, учитывая некоторую вариабельность численных значений признаков, компактным множеством точек пространстве. Продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции. Алгебра и начала анализа Учебник для 1011 классов общеобразовательных учреждений под ред А Е Абылкасымовой.

Сегодня на уроке мы повторим понятие производной, правила вычисления производных, научимся находить производную сложной функции. Открываем тетради, записываем число и тему урока Урок у нас с вами будет необычный потому, что отправимся мы сегодня путешествие А куда Узнаем, если проверим ваше домашнее задание. Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s v t где s путь, пройденный к моменту времени t v скорость равномерного движения. Итак, пусть материальная точка движется по прямой одном направлении по закону. Р ассмотрим теперь непрерывную функцию y f x и соответствующую этой функции кривую При некотором значении 0 функция принимает значение y 0 f x 0 Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 x 0 y 0 Дадим аргументу x 0 приращение Δ Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 Δ y f x 0 Δ x Получаем точку М x 0 Δ x y 0 Δ y Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox Составим отношение и заметим Если теперь Δ x 0, то силу непрерывности функции Δ у 0, и поэтому точка М перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой точке М 0 а угол φ α при Δ x 0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ π 2 то при φ α tg φ tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет.

Теорема Если функция y f x дифференцируема некоторой точке x 0 то она этой точке непрерывна. Итак, если x получает приращение Δ x то f x Δ x x Δ x n и, следовательно. Полученное равенство справедливо и при Δ u 0 при произвольном α, так как оно превращается тождество 0 0 При Δ u 0 будем полагать α 0 Разделим все члены полученного равенства на. Выделяем внешнюю и внутреннюю функции Две функции равны только том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента Сложную функцию рассматриваем как композицию двух функций, то есть как последовательное выполнение двух соответствий Каждому значению R радиуса шара соответствует одно определенное значение объема шара Поведение элементарных функций лучше всего иллюстрируется с помощью графика, поэтому и для исследования сложной функции наилучший, как мне кажется, подход это дать представление о ее графике, построенном с использованием графиков внутренней и внешней функций Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений числовые множества, Причем предложенный метод достаточно нагляден и не использует громоздких преобразований с формулами Они не требуют почти никаких затрат, если программа уже установлена В силу возрастания квадратичной функции на данном участке об этом можно было догадаться и без графика, но график помогает дальнейших рассуждениях.

Дифференциалом функции является главное линейное отношение приращений переменных как часть полного приращения дифференцированной функции, то есть. Производной второго порядка функции переменных называется производная от производной п1 ого порядка по каждой из переменных. В случае явного указания поверхности то есть где существует и непрерывна области точки тогда приращение аппликаты касательной плоскости при переходе от точки на касательной плоскости точку. Программа элективного курса по математике построение графиков функций элементарными методами. Курс должен прояснить и дополнить учебный материал, связанный с функциями и их графиками, представить систематизацию функций В ходе изучения материала учащиеся получат возможность научиться строить графики сложных функций, описывать их свойства, узнают о истории развития этого понятия и познакомятся с практическими приложениями методов построения графиков функций и их исследования. Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено соответствие единственное число y то говорят, что на множестве D задана числовая функция. Функции могут задаваться различными способами Самый распространенный из них аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы Вот некоторые примеры. При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования.

Если, однако, какомуто пассажиру удастся сесть сразу два кресла и, то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y f x функции. Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией. Пример пока не совсем математический если программа выдаёт название месяца по номеру месяца году, то, введя 15, вы получите сообщение об ошибке. В случае, когда функция задана формулой, областью определения функции является вся числовая прямая, то есть. Решение Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным Сначала решим уравнение. Графиком числовой функции y f x называется множество точек плоскости с координатами x f x абсциссы которых числа из области определения функции, а ординаты соответствующие значения функции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

В природе предметы и явления органически связаны между собой, зависят друг от друга Устойчивые простейшие связи издавна изучались людьми Знания о них накапливались и формулировались как физические законы В массе случаев это были указания на то, что разные величины, количественно характеризующие некоторое явление, тесно связаны между собой, полностью обусловливаются одна значением другой Например, размеры сторон прямоугольника вполне определяют его площадь, объем данного газа при определенной температуре обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и Подобные закономерности и послужили источником понятия функции. Таким образом, приходится считаться с тем обстоятельством, что конкретные функции могут быть заданными не обязательно для всех возможных числовых значений, а только на некотором множестве числовых значений math x math чаще всего заполняющих на оси math x math ов некоторый отрезок с концами или без концов. Каждое новое понятие часто порождает новую символику Переход от арифметики к алгебре заключался возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных, поиски общих решений привели к буквенной символике. Функция у аргумента называется неявной, если она задана уравнением F x, у 0, не разрешенным относительно зависимой переменной Например, функция у у 0, заданная уравнением 3 у.

Заметим, что основные элементарные функции непрерывны каждой точке своей области определения Все элементарные функции непрерывны своей области определения. Замечание 2 Если функция y f x не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций. Теорема Если для функции y f x существует обратная функция x g y, которая некоторой точке у 0 имеет производную g v 0, отличную от нуля, то соответствующей точке x 0 g x 0 функция y f x имеет производную f x 0, равную, справедлива формула. Область определения функции Найти ее область определения D f Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E f Однако, во многих случаях, вопрос нахождения. Читать неопознаный вид работы online по теме Понятие, виды и функции дизайна Раздел Этика Найдем дифференциал функции y x В этом случае y x 1 и, следовательно, dy dx Δx Таким образом. Киев Наукова думка, 1979 320 с Справочник содержит основные сведения о функциях и методах построения графиков функций, частности сведения о построении графиков функций элементарными способами.

Сложная функция y g f x Правило нахождения производной сложной функции g f x g f f x Простая функция Производная простой функции производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции Сложная функция 1 f x 1 x 1 2 x 1 1 Пример 1 y y f sin x f sin x Производная сложной функции f x 1 2 f x 2 f x f x 1 1 cos x 1 y sin 2 x sin x sin 2 x cos x sin 2 x Слайд 19. Объекты или предметы, из которых состоят множества, называются элементами множества. Множества обозначают прописными латинскими буквами А В, X У, а элементы множества строчными латинскими буквами а. Пусть задана функция y f x с областью определения D и множеством значений E Если каждому соответствует единственное значение то определена функция с областью определения E и множеством значений D Функция называется обратной к функции y f x и записывается. Определение 12 Пусть и две числовые последовательности Суммой, разностью, произведением и отношением этих последовательностей называются числовые последовательности члены которых образованы по правилу. При этом последовательность называется положительной бесконечно большой если и отрицательной бесконечной большой если. Определение 17 Числом число Эйлера называется пре дел где 2, 71828 иррациональное число. К использованию числа e приводит анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и так далее Число e используется так же при решении экономических задач.

Процентом P называется сумма, выплачиваемая за использование предоставленных средств Тогда величина выраженная процентах, называется процентной ставкой По истечению установленного срока накопленная сумма составит. Предположив, что получим величину вклада при непрерывном начислении процентов. Из определения 18 следует, что функция не может иметь двух различных пределов одной точке. Пусть функция у f x определена некоторой окрестности точки Если фиксированное значение аргумента получает приращение положительное или отрицательное, и также принадлежит окрестности точки, то приращение функции определяется выражением. Формула разложения функции по степеням x с остаточным членом форме Пеано называется формулой Маклорена. Максимум минимум функции называется экстремумом этой функции, а точки максимума и минимума точками экстремума. Теорема 7 необходимое условие экстремума Если функция y f x непрерывна некоторой окрест ности точки и имеет этой точке экстремум, то ее произ водная этой точке равна нулю или не существует. Замечание При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи 1 оба предела 13 существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая y kx b называется двусторонней асимптотой 2 оба предела 13 существуют, но при и при они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты 3 если хотя бы один из пределов 13 не существует, то наклонных асимптот.

Число вида, где, у действительные числа а i число, квадрат которого даёт минус единицу мнимая единица. Чтобы было более понятно, это правило можно записать виде такой схемы. И, наконец, упростим выражение, вcпомнив формулу синуса двойного аргумента. Если функция определена на некотором множестве а на множестве значений этой функции определена функция то функция называется сложной функцией от а переменная промежуточной переменной сложной функции. Замечание Функцию называют также композицией или суперпозицией функций. Доказательство Возьмём из области определения функции произвольную последовательность сходящуюся к точке Тогда силу непрерывности функции точке имеем соответствующая последовательность. Характеристическое свойство множества например, множество четырёхугольников с равными сторонами. Коммутативность А В В А Ассоциативность А В С А В С Дистрибутивность А В С А В. Объединением множеств А и В называется множество А В, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В С.

Полным образом элемента а А, называется множество всех элементов b В, для которых выполняется соответствие aSb Полным прообразом элемента b В, называется множество всех элементов а А, для которых выполняется соответствие. Геометрический смысл это окружность вне которой находится конечное число элементов последовательности. Предел частного двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует. Пусть функция f x имеет обратную функцию и конечную, отличную от нуля производную Тогда для обратной функции существует производная, равная. Теорема Роля Если функция y f x непрерывна на отрезке a b, имеет конечную производную точке этого отрезка и принимает на концах отрезка равные значения, то между а и b существует хотя бы одна точка с, которой. Теорема Лагранжа если функция y f x непрерывна на отрезке a b и имеет конечную производную каждой точке, принадлежащей этому отрезку, то между а и b найдется, по крайней мере, одна точка с, которой f с f b f. Если функция на отрезке a b непрерывна и внутри отрезка дифференцируема, то внутри отрезка она имеет наибольшее и наименьшее значение.

Доказать необходимое и достаточное условие того, что данное число располагается между корнями квадратного уравнения. Доказывается банально через рисунки 4 параболы И ко всем условиям надо не забывать дискриминант больше либо равен нуля. Для нахождения разности комплексных чисел необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части. Всякий многочлен P n x не нулевой степени, с любыми коэффициентами имеет n корней, общем случае комплексных, при этом каждый корень подсчитывается столько раз, какова его кратность. Аксиоматика Г Вейля П К Рашевского число, точка и вектор понятия не требующее определения. Для получения вектораразности векторов а и b надо отложить эти вектора из одной точки и провести вектор из конца второго конец первого. Аффинным пространство называется мново точек и векторов, элементы которого находятся отношениях, определённых аксиомами откладывания вектора и умножения вектора на число. Упорядоченная тройка чисел x y z, являющаяся координатами радаусавектора точки А, называется координатами точки а этом базисе.

Базис плоскости это два линейно независимых вектора, через которые можно выразить все векторы плоскости. Признак параллельности плоскостей для того, чтобы плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы они имели общий базис. Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, параллельная данной. Прямая называется параллельной плоскости, если её направляющий вектор параллелен этой плоскости. Модуль скалярного произведения векторов не превосходит произведения длин этих векторов. Ортогональные системы ненулевых векторов линейно независимы Доказывается записью 2х скалярок, где один вектор представлен виде линейной комбинации двух других. Проекцией вектора а на вектор b называется скалярное произведение векторов а и b деленное на модель вектора. Декартовой системой координат называется аффинная система координат с ортонормированным базисом. Сл Расстояние между точками А и В равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат причём из координат 2й точки вычитаются координаты. Для того, чтобы прямая l принадлежащая плоскости была перпендикулярна наклонной, проведенной к этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы та прямая была перпендикулярна проекции наклонной на ту же плоскость. О Смешанным произведением трёх векторов называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других.

Точка K точка пересечения луча с окружностью, а точка L с касательной к единичной окружности точке 1 0 Точка H проекция точки K на ось. Бесконечно малая величина числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. При величина имеет высший порядок малости относительно, так как С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно, так. Пусть s s t закон прямолинейного движения Тогда v t 0 s t 0 выражает мгновенную скорость движения момент времени t 0 Вторая производная a t 0 s t 0 выражает мгновенное ускорение момент времени. Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай nкратного дифференцирования формула Лейбница. Задачи, приводящие к определенному интегралу Понятие определенного интеграла. Механический смысл дифференциала Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента Для этого используют способ интерполяции. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа основные преимущества аналитического способа задания функции К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений. Пусть дана функция у f x Она имеет обратную, если из зависимости у f x можно переменную однозначно выразить через переменную у Выразив через у мы получим равенство вида g y В этой записи g обозначает функцию, обратную. Поэтому первое слагаемое х называют главной частью приращения функции. Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка Найдем дифференциал независимой переменной, дифференциал функции. Сравнивая формулы dy у dx и dy у u du, видим, что первый дифференциал функции у определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Предмет логики человеческое мышление Сам термин мышление является достаточно широким и не дает возможности определить специфику логики по отношению к другим наукам Психология тоже анализирует условия и причины, обеспечивающие развитие и нормальное функционирование человеческого мышления Физиология высшей нервной деятельности раскрывает естественнонаучные основы механизма деятельности головного мозга Кибернетика пытается выяснить законы мышления путем их моделирования Массовое сознание и мышление изучается социологией. Формальная сторона мышления связана с отношениями, которые возникают между образами, их составными частями мыслями и частями мыслей, отражающими те или иные стороны предметного содержания Формальная сторона мышления не совпадает с отношениями, которые имеют место самих предметах, отраженных мышлении. Общепринятым является язык логики предикатов Его основными категориями являются имена предметов, выражения, обозначающие свойства и отношения, и предложения. Выражения, обозначающие свойства и отношения, называются предикаторами В предложении они обычно играют роль сказуемого например, быть синим, бегать и. В центре логических размышлений Аристотеля лежит теория дедуктивных умозаключений и доказательства Он также дал классификацию категорий и близкую к демокритовской классификацию суждений, сформулировал три фундаментальных закона мышления закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего.

В Средние века развитии логики как науки сыграла проблема общих понятий универсалий Суть проблемы заключается том, что появляется раньше общие понятия, вытекающие из нашего разума рационализм, или единичные, фактические предметы номинализм. Именная функция это выражение, которое при замене переменных постоянными превращается обозначение предмета Возьмем именную функцию отец у Подставим вместо у имя писатель Жюль Верн, получим отец писателя Жюля Верна имя предмета. Принцип двузначности был известен еще Аристотелю, который не считал его, однако, универсальным и не распространял его действия на высказывания о будущем Аристотелю казалось, что высказывания о будущих случайных событиях, наступление которых зависит от человека, не являются ни истинными, ни ложными Они не подчиняются принципу двузначности Прошлое и настоящее определены однозначно и не подвержены изменению Будущее же определенной мере свободно для изменения и выбора. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также и законами классической логики, однако обратное утверждение смысла не имело Ряд классических законов трехзначной логике отсутствовал Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, закон косвенного доказательства и ряд других. В отличие от Лукасевича, Э Пост подходил к построению многозначной логики чисто формально Допустим, 1 обозначает истину, а 0 ложь Естественно допустить, что числа между единицей и нулем обозначают степени истины.

Из закона тождества следует нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные Нарушение этого требования процессе рассуждения нередко бывает связано с различным выражением одной и той же мысли языке. Понятно, что не будет противоречия между суждениями, если одном из них утверждается принадлежность предмету одного признака, а другом отрицается принадлежность этому же предмету другого признака и если речь идет о разных предметах. Противоречия не будет и том случае, если мы чтолибо утверждаем и то же самое отрицаем относительно одного лица, но рассматриваемого разное время Допустим, что обвиняемый Н начале следствия дал ложные показания, однако конце следствия он был вынужден под тяжестью изобличающих его улик. Обоснованность важнейшее свойство логического мышления Во всех случаях, когда мы утверждаем чтолибо, убеждаем чемлибо других, мы должны доказывать наши суждения, приводить достаточные основания, подтверждающие истинность наших мыслей В этом состоит коренное отличие научного мышления от мышления ненаучного, которое характеризуется бездоказательностью, способностью принимать на веру различные положения и догмы Это особенно характерно для религиозного мышления, опирающегося не на доказательство, а на веру.

Одним из важных методов логики является метод формализации Этот метод основывается на различении естественных и искусственных языков Естественные языки складываются процессе коммуникации и служат средством общения, передачи информации, выражения эмоций и В отличие от них, искусственные языки ориентированы на строго определенные и ограниченные задачи исследования Они претендуют не только на сокращение записи, но и на более эффективную работу Над формулами искусственных языков можно проводить операции, получать из них новые формулы и отношения Символическое исчисление становится аналогом рассуждения, позволяющим дедуктивным образом из одних структур знаков и символов получать другие, выражающие новое знание о данном объекте. Исходной формой абстрактного человеческого мышления является понятие Любая мысль выражается посредством понятия. Конкретные понятия, которых находят свое отражение сами предметы и явления, обладающие относительной самостоятельностью существования книга, ручка. Абстрактные это понятия, которых мыслятся свойства предметов или отношения между предметами, не существующие самостоятельно без этих предметов жесткость, электропроводимость. Единичный класс класс, состоящий из одного предмета, например планета Земля. Требование классификации состоит том, чтобы она давала возможность сделать наибольшее число утверждений Та классификация будет наилучшей, которой предметы сходны друг с другом возможно большем числе признаков Выделяют следующие виды классификаций.

Простые суждения это суждения, которых нельзя выделить правильную часть, которая свою очередь была бы самостоятельным суждением Например Я человек или Ничто человеческое мне не чуждо. В утвердительных суждениях раскрывается наличие какойлибо связи между субъектом и предикатом S есть. Общими называются суждения, которых чтолибо утверждается для всей группы предметов раздельном смысле Все S есть Р Ни одно S не есть. Частноотрицательные частные по количеству, отрицательные по качеству Например Некоторые свидетели не дают верных показаний. Импликация суждения объединяются на основе логической связки если то, например Если будет хорошая погода, то соревнования состоятся. Противоположность отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.

Анализ распределенности терминов, входящих суждение, имеет значение для установления правил возможных преобразований формы суждений, а также особенности для установления правил выводов, которые могут быть получены из суждений. Рассмотрев распределенность субъекта и предиката суждениях всех видов качества и количества, можно сделать следующие выводы. Данная модальность определяет, на каком основании было принято данное суждение на вере или на знании. Другую важнейшую операцию представляет собой отрицание суждений, или инверсия Его сходство с преобразованием состоит том, что результатом отрицания тоже выступает новое суждение Отличие же состоит том, что процессе отрицания суждения не только его форма, но и смысл Таким образом, основе отрицания суждений лежит их несовместимость Например Все судьи справедливы Неверно, что все судьи справедливы. Сложным силлогизмом полисиллогизмом являются два или несколько простых категорических силлогизмов, связанных друг с другом таким образом, что заключение одного из них становится посылкой другого Различают прогрессивные и регрессивные полисиллогизмы. В прогрессивном силлогизме заключение предшествующего силлогизма становится большей посылкой последующего силлогизма. Научная индукция опирается не столько на большое число исследованных фактов, сколько на всесторонность их анализа и установление причинной зависимости, выделение необходимых признаков или необходимых связей, предметов и явлений Поэтому она и дает научное заключение.

Рассмотренные три вида аналогии делятся зависимости от характера выводного знания, по степени достоверности заключения получено истинное заключение, определенная степень вероятности заключения или ложное заключение Вероятные заключения тем ценнее, чем их вероятность ближе к истине. В зависимости от положения среднего термина посылках различают четыре фигуры силлогизма. Так как категорические силлогизмы мышлении встречаются весьма часто, то для получения истинного заключения необходимо соблюдать следующие правила. Гоклениевский прогрессивный сорит представляет собой прогрессивный полисиллогизм с пропущенными большими посылками эписиллогизмов Прогрессивный сорит начинается с посылки, содержащей предикат заключения, и заканчивается посылкой, содержащей субъект заключения. Процесс обоснования истинности называется доказыванием, или аргументацией. Интерпретация событий и явлений, выбор различных смысловых значений, использование простейших логических методов доказательства, включая дедукцию когда речь шла о подведении конкретных случаев под установленную норму или, наоборот, о выведении из нормы, предназначенной для решения конкретного случая, некоторого общего правового принципа, и, наконец, способ рассуждения от противного, когда утверждается одно и тем самым отрицается другое, все эти методы аргументации многократно применялись и стали общепринятыми.

Существует также огромная сфера ненаучного знания эзотеризм Данную сферу знаний используют оккультные науки, мистицизм Эзотеризм основывается на опыте поколений Данный опыт действует на уровне подсознания, традиций. Среди описательных гипотез особое место занимают экзистенциальные гипотезы гипотезы о существовании того или иного объекта. Одной из главных причин формирования логики Древней Греции была риторика, наука об ораторском искусстве С учетом того, что древнегреческих городах решения принимались простым большинством голосов, то требовалось много усилий для убеждения слушателей своей правоте На основании этого разрабатывались различные приемы и методы убеждения Одним из главных элементов риторики является спор. Дискуссия представляет собой утверждения, которые высказываются несколькими лицами по очередности результате общения между собой. Каждый участник дискуссии имеет соответствующее представление отношении обсуждаемого предмета Поэтому задачей дискуссии является найти общее представление о данном предмете, которое приузнавалось всеми участниками дискуссии.

В развитии науки любое исследование начинается с постановки проблемы Проблема исследование решение, данная последовательность относится к любым стадиям развития теории и к различным видам деятельности человека Отчетливая постановка задач является условием успеха исследования или иной деятельности Но теории, находящейся на начальном этапе своего развития, выдвижение проблем совпадает с процессом исследования и не может быть отделено от него. Ф Рамсеем было предложено разделить парадоксы у на синтаксические и семантические По его мнению, синтаксические парадоксы должны содержать те понятия, которые принадлежат логике или математике Семантические парадоксы включают понятия, относящиеся больше к лингвистике или теории познания. Чем является для сложной функции функция у sin Промежуточной переменной. Как взаимосвязаны непрерывность функции точке и ее дифференцируемость этой точке. Теорема 4 3 1 В случае если у f u и u j x дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у f j x существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. С другой стороны, существуют функции, имеющие правую и левую производные точке, но имеют производной самой точке Примером такой функции может служить функция Эта функция имеет точке правую производную при и левую производную при, но не имеет производной точке.

Достаточность Пусть существует производная существует Тогда по прямой теореме функцию, имеющую предел, можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины где бесконечно малая величина при. Предположив, что и умножив равенство на получим тем самым доказано по определению что функция дифференцируема точке. Если функция имеет производную каждой точке некоторого интервала то она производная будет принимать различные значения при различных будет зависеть от и поэтому ее можно рассматривать как производную функцию от функции При этом саму функцию называют дифференцируемой на интервале. Взаимодействие, реализуемое через обмен сигналами вещественными, энергетическими, информационными, между компонентами обеспечивает функциональную целостность. Начнем с Когда мы находим частную производную по икс, то переменная считается константой постоянным числом. Как видите, всё просто берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но данном случае уже по игрек. Следует отметить, что при нахождении, нужно проявить повышенное внимание так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует. Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются комбинации.

Дана функция двух переменных Найти все частные производные первого и второго порядков. Геометрично графік функції g оберненої до функції f симетричний до графіка f відносно прямої y x бісектриси першої та третьої чвертей рис.

 

© Copyright 2017-2018 - articles-seminary.ru