Понятие о степени с рациональным показателем

Равенство а 0 1 для применял своих трудах начале XV самаркандский ученый алКаши Независимо от него нулевой показатель был введен Н Шюке XV Последний ввел и отрицательные показатели степени Идея дробных показателей содержится у французского математика Н Орема XIV в. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами Например, основное свойство дроби a m a n a m n при упрощении выражений часто применяется виде a m n. Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем свойству частного степеней с одинаковыми основаниями для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n удовлетворяющих условию m n справедливо равенство a m a. Приведем пример Возьмем две степени с одинаковыми основаниями и натуральными показателями 5 и 2 рассмотренному свойству степени отвечает равенство 5. Теперь рассмотрим свойство степени произведения натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n то есть, a b n. Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как, что равно. Для наглядности покажем это свойство на примере Для произведения трех множителей степени 7 имеем. Теперь озвучим свойство возведения степени степень для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m степени n равна степени числа a с показателем m n то есть, a m. Доказательством свойства степени степени является следующая цепочка равенств. Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a 0 степень a n есть нуль Действительно, 0 n 0 0 0 0 К примеру, 0 3 0 и. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2 m где m натуральное Тогда По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a a равно произведению модулей чисел a и a значит, является положительным числом Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2 m Приведем примеры 6 4 0 2, 2. Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше Докажем. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями Сформулируем его Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше Переходим к доказательству этого свойства.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные виде равенств. Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня nой степени и на свойствах степени с целым показателем Приведем доказательства. Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a 0 обладают этими же свойствами.

Определение Степень, показатель которой есть положительное рациональное число определяется по формуле. Определение Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число определяется по формуле. Последнее равенство означает по определению корня nй степени, что число должно быть корнем пй степени из числа. Степенью числа а 0 с рациональным показателем r, где m целое число, а n натуральное n 1, называется число. Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2 x точках n и n где n и n десятичные приближения числа мы обнаружим, что, чем ближе n и n к тем меньше отличаются 2 x n и. Степенью числа a с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число a r положительно. Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения натуральную степень для любого числа мы определили возведения нулевую и целую отрицательную степень для любого мы определили операцию возведения положительную дробную степень для любого мы определили операцию возведения отрицательную дробную степень. Итак, для a 0 мы определили степень с любым действительным показателем. Внимание Предварительный просмотр слайдов используется исключительно ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Самостоятельная деятельность учащихся Решение задач по теме Степень с рациональным показателем. Если a 0, а то не существует такого действительного x при котором бы выполнялось равенство Следовательно, невозможно ввести понятие корня чётной степени из отрицательного числа Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно В самом деле, пусть a 0, а n нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что Это число и называется корнем нечётной степени из отрицательного числа Оно обозначается точно так же Например, так как Для нечётных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если. Представленный материал будет полезен преподавателям математики при изучении темы Степень с рациональным показателем. Обучающие формировать новые знания у обучающихся основных понятий, правил, законов на определение степени с рациональным показателем, умения самостоятельно применять знания стандартных условиях, измененных и нестандартных условиях. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним. Арифметический квадратный корень это неотрицательное число, квадрат которого равен a При выражение не определено, к нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу. Определение степенью числа a 0 с рациональным показателем r m целое, n натуральное n 1 называется число. Пусть a 0, 0 r, s любые рациональные числа Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

Какие ранее изученные знания вы применяли при изучении нового материала. Идёт приём заявок на международный конкурс по математике Весенний марафон для учеников 111 классов и дошкольников. Инфоурок приглашает всех педагогов и детей к участию самой массовой интернетолимпиаде Весна 2017 с рекордно низкой оплатой за одного ученика всего 45 рублей. Степень числа 0 определена только для положительных показателей, по определению для любого r 0 0 0 и 0 r не определены. Свойства степени с рациональным показателем положительного действительного числа. Пусть p 0, тогда по свойству степени с целым показателем По свойству корня n степени следовательно 9 Пусть a 1 и r 1 r 2 Рассмотрим разность На основании пункта 7 на основании пункта 8, учитывая, что r 1 r 2 0, 0, следовательно, 0, значит, 0, Аналогично рассматривается случай. Пример Вычислить с точностью до 8, 1 число 2, если а 1, 624121121112 а то же, что и выше Решение Для приближенного вычисления 2 заметим, что А 1 21 6 2 21 или 2 3 2е 2 Далее, 2 8 8192 1 П 9 2 90, 51 8 1 9 2 9 0Д Т 9, 52 У 8192 9 Д 2 3, 09 Таким образом, 2а 3, 09 Испытанием находим, что 3, 03 5 255, 3954324543 2 5 6 Поэтому 3, 03 23 2 а Выходит, что 3, 03 2е 3, 0 9 Число 2е вычислено с точностью до.

В курсе Алгебра, 79 классы было определено понятие степени числа с целым показателем Подчеркнуть, что выражение a n имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а 0. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, так как a mk nk nk a mk n a. Замечание 3 При а 1 3 3 64 4 С другой стороны 1 3 2 6 и тогда 64 1 3 64 2 6 6 64 2 6 64 2 6 4 6 4 Получаем противоречие. Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема 1323 1382 гг его труде Алгоризм пропорций Известно, что Николай Шюке 1445 1500 гг, рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются Полной арифметике 1544 немецкого математика М Штифеля и у Симона Стевина Немецкий математик М Штифель 1487 1567 гг дал определение а 0 1 при и ввел название показатель это буквенный перевод с немецкого Exponent Немецкое potenzieren означает возведение степень В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов Он применял сокращения N, Q, C для первой, второй и третьей степеней Но современные обозначения типа а 4 а 5 XVII ввел Рене Декарт. Мы насколько комфортно мне работалось малой группе я помогал товарищам, они помогали мне чего было больше, какие у меня были затруднения общении с группой. Воспитательные Продолжить развитие культуры математической речи Способствовать формированию коммуникативной компетентности. А куда ты хочешь попасть ответил Кот Мне все равно сказала Алиса. Тогда все равно, куда и идти, заметил Кот Это отрывок из сказки Алиса стране чудес Её написал Льюис Керол Так что же хотел сказать Алисе. Учитель Вот и мы тоже должны поставить перед собой цель на сегодняшний урок Прочитайте тему урока Какое новое слово вы увидели.

Учитель Действительно, сегодня мы будем изучать новое понятие степенные функции. Почти все, что происходит с нами или вокруг нас связано с понятием функция, потому что все вокруг взаимосвязано, а функция это зависимость между двумя величинами, которая обладает определённым свойством Сегодня нам предстоит к нашим знаниям о функции добавить степенные функции Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится. Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно. Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема 1323 1382 гг его труде Алгоризм пропорций. Выучить 12, повторить 11, решить 5 4 с 185, 2 2, 4, 6, 8, 4 3. Воспитательные способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации. Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал Величие человека его способности мыслить Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса. Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

Возвысить число а степень с целым и положительным показателем n значит найти произведение n одинаковых сомножителей ааа. Перечислим свойства этих показателей, известные нам из предыдущих глав алгебры. Само собою разумеется, что такое преобразование данного выражения целое есть только изменение одного внешнего вида выражения, а не содержания. При возведении степень частного возводят эту степень и делимое, и делитель, результаты делят. В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет сначала для степени с натуральным показателем, затем для степени с целым показателем, далее для степени с рациональным и иррациональным показателем.

Оборудование проектор, сопровождающая урок презентация, раздаточный материал листы самоконтроля, карточки с. Проверим предположение, припомнив, как мы вводили понятие степени с отрицательным показателем и показателем, равным нулю слайд. Когда Платон дал определение, имевшее большой успех Человек есть животное о двух ногах, лишённое перьев, Диоген Синопский ощипал петуха и пришёл к нему школу, объявив Вот платоновский человек После этого к определению было добавлено и с широкими ногтями В нашем определении не хватает этих широких ногтей, откорректируйте определение, найдя ошибку рассуждении слайд. Сформулируйте окончательный вариант определения степени с любым рациональным показателем. Что ещё мы можем выполнять со степенями с рациональным показателем Чему предстоит научиться слайд с реконструированной контрольной работой. Оцените свою работу группах по предложенным критериям Оцените собственную работу группе. На следующих уроках мы рассмотрим функции, правые части формулах которых будут полученными выражениями Собственный график по своей формуле выстроит каждый из вас Графики будут разными, а называться будут одинаково Графики степенных функций математики шутят прагматично Смысл же изменённой фразы Толстого мы обсудим, рассмотрев полученные линии. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какиелибо вопросы.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации любой момент, когда вы связываетесь с нами. Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и. Для работы с некоторыми файлами необходимо убедиться наличии программы для просмотра и печати документов формата. Действие возведение степень вызвана потребностями практической жизни Мы очень часто сталкиваемся с ним реальной действительности Вспомним о случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени Далее сила всемирного тяготения, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния Продолжительность обращения планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет связана с расстояниями от центра обращения также степенной зависимостью вторые степени времен обращения относятся между собою, как третьи степени расстояний. Цели урока 1 Повторить и закрепить изученный материал по теме урока процессе решения. Группа разделена на три команды, каждой выбраны капитаны Капитаны организуют свои команды представляют домашнее задание и самостоятельные работы, выполненные на уроке, на проверку судьям проверяющим участвуют конкурсе капитанов назначают выступающих блиц турнире и конкурсе Вот так мы, лучших игроков команды, для участия супер игре.

На доске или на плакате составляется табло, которое заполняют проверяющие. Результаты конкурса подводят проверяющие во время следующего этапа игры Каждое верно выполненное задание оценивается 1 балл Проверяющий суммирует баллы, набранные каждым игроком и всей командой. Все тетради заранее собираются и проверяются На уроке проверяющие докладывают о результатах Каждое полностью и правильно выполненное задание оценивается 1 балл Общий результат определяется суммой баллов, полученных за все работы. Конкурс показывает, насколько глубоко учащиеся усвоили материал и научились применять его при решении уравнений. После жеребьевки команды выступают установленном порядке От команды выступает один участник Каждый из них, выйдя к доске, вытаскивает билет с заданием, которое он выполняет на доске и одновременно объясняет свои действия. По горизонтали 1 Возведение 2 Степень 3 Произведение 4 Деление 5 Штифель. По два лучших игрока из команды отгадывают крылатую математическую фразу Можно открыть по две буквы каждого слова На обдумывание дается одна минута. Видеоурок начинается с представления темы Связывая изучения новой темы с ранее изученным материалом, предлагается вспомнить, что n aиначе обозначается a 1 n для натурального n и положительного a Данное представление корня nстепени отображается на экране Далее предлагается рассмотреть, что значит выражение a m n котором a положительное число, а m n некоторая дробь Дается выделенное рамке определение степени с рациональным показателем как a m n n a m При этом отмечено, что n может быть натуральным числом, а m целым.

После определения степени с рациональным показателем ее смысл раскрывается на примерах 5 100 3 7 7 5 100 3 Также демонстрируется пример, котором степень, представленная десятичной дробью, преобразуется обычную дробь, чтобы быть представленной виде корня 1 7 1, 7 1 7 17 10 10 1 7 17 и пример с отрицательным значением степени 3 1. Отдельно указывается особенность частного случая, когда основание степени нуль Отмечено, что данная степень имеет смысл только с положительным дробным показателем В этом случае ее значение равно нулю. Отмечена еще одна особенность степени с рациональным показателем то, что степень с дробным показателем не может рассматриваться с дробным показателем Приведены примеры некорректной записи степени 9 3 7 3 1. Деление степеней с одинаковыми основаниями сводится к степени с данным основанием и разностью показателей степеней a p a. Если возвести степень некоторую степень, то итоге получаем степень с данным основанием и произведением показателей a p. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Все это мы изучали с вами раньше А теперь давайте рассмотрим степень, показателем которой является не натуральное, а рациональное число. Почему ввели ограничение q 1 Потому что при q 1 показатель степени становится целым числом А все свойства таких степеней мы уже рассматривали раньше. При таком определении степени с рациональным показателем сохраняются все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей.

Давайте теперь рассмотрим степень с рациональным показателем случае отрицательного показателя. Уравнения, которых переменная содержится под знаком корня или возводиться дробную степень, называют иррациональными. Более подробно иррациональные уравнения и методы их решения мы рассмотрим позднее. Проект вводного урока 9 классе по теме Степень с рациональным показателем. Личностные развитие учебнопознавательной мотивации и способности к самооценке. Что мы обычно с вами делаем на вводном уроке составляем план изучения учебного материала. Утечка нефти составила около 800 тыс 3 результате на поверхности океана образовалась пленка толщиной. Так как существуют уже два частных понятия степени, но связаны ли они общими свойствами, существуют ли степени с другими показателями мы пока не знаем, но можем построить информационную модель, взяв качестве ключевого общее понятие степень. Как организуем работу на уроке Как обычно, группах 4 группы по количеству направлений модели аналитики, историки, практики, межпредметники. Учащиеся решают задачи самостоятельно, затем сверяют решения с членами группы, отмечая результаты таблице мой ответ, ответ группы Дети обсуждают и определяют зоны знания и незнания, оформляют результаты на своей части модели.

Чтобы обоб щить по ня тие о по ка за те ле сте пе ни, вспом ним, что такое сте пень. Можно раз де лить сте пе ни с оди на ко вым ос но ва ни ем, для этого их по ка за те ли нужно вы честь, а ос но ва ние оста вить тем же самым. На пом ним связь между мно же ством дей стви тель ных чисел и чис ло вой осью Между мно же ством дей стви тель ных чисел и мно же ством точек чис ло вой оси су ще ству ет вза и мо од но знач ное со от вет ствие То есть, если мы го во рим, что есть число, то ему на оси со от вет ству ет един ствен ная точка Точно так же каж дой точке со от вет ству ет един ствен ное дей стви тель ное число. Дан ное ра вен ство невер но, так как наше опре де ле ние не долж но про ти во ре чить опре де ле ни ям, дан ным ранее, на при мер ос нов но му свой ству дроби. По опре де ле нию от ри ца тель но го ра ци о наль но го по ка за те ля сте пе. На при мер нужно пе ре ве сти бес ко неч ную пе ри о ди че скую дробь обык но вен. Для того чтобы умно жить сте пе ни с оди на ко вым ос но ва ни ем, нужно сло жить их по ка за те ли, ос но ва ние оста вить без из ме не. Можно раз де лить сте пе ни с оди на ко вым ос но ва ни ем, для этого их по ка за те ли нужно вы честь, а ос но ва ние оста вить без из ме не. Теперь вы видите, что существует еще одно понятие степень с отрицательным целым показателем.

Применяемая технология технология сотрудничества, информационно компьютерная технология с использованием презентации к уроку. V Физ минутка, если показанное мной выражение не имеет смысла вы остаетесь сидеть, если имеет смысл, то встаете. Задание 2 группа Решив уравнения и составив слово 1234567, используя дешифратор, вы узнаете имя этого ученого, который ввел название показатель. V II Исторические сведения о развитии понятия степени проект подготовленный учащимися Раднова К Мелешко. Немецкий математик М Штифель 1487 1567 гг дал определение а 0 1 при pic и ввел название показатель это буквенный перевод с немецкого Exponent Немецкое potenzieren означает возведение степень. В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов Он применял сокращения N, Q, C для первой, второй и третьей степеней Но современные обозначения типа а 4 а 5 XVII ввел Рене Декарт. Фактически, эта запись означала удобное сокращение вместо того, чтобы каждый раз писать произведение большого количества множителей мы стали использовать удобную и краткую запись. Чтобы получить выражение достаточно третьем свойстве положить и мы получим. Несложно убедиться, что при таком определении степени с целым показателем все остальные свойства, уже определённые для степени с натуральным показателем сохраняются собственно, этого мы и добивались Таким образом, для степени с целым показателем полный список свойств выглядит.

Вполне логично, что можно продолжить обобщать понятие степени для рациональных показателей Рассмотрим выражение Но для случая мы получили определение корня nой степени Тогда. Оказывается, что все эти свойства верны и для любого вещественного показателя степени. Исходя из определения можно сформулировать основные свойства показательной функции. Показательная функция, независимо от своего основания, обладает одним очень важным свойством она Что это означает Это означает, что каждое значение функция принимает не больше одного раза то есть, что любая горизонтальная прямая пересечёт график показательной функции не более, чем один. Здесь очень важно понимать, что математики люди весьма прагматичные и даже немного ленивые Поэтому они стараются структурировать и обобщать всё, что только можно. Нас же не удивляет, что известный нам с раннего детства закон от перемены мест слагаемых сумма не меняется остался верен не только для чисел от 1 до 10 как мы учили его изначально, а и для всех натуральных, целых, рациональных и даже иррациональных чисел. Мы ввели понятие степени с натуральным для любого основания А дальнейшем начали накладывать на основание определённые ограничения Возникает вопрос каких случаях степень определена при неположительных основаниях.

Для отрицательных же оснований выражение определено только для целых показателей степени. Это выражение имеет свою предысторию Существует следующая притчаанекдот, иллюстрирующая принцип математического подхода к решению задач. Таким образом, выражение вылить воду из чайника означает свести задачу к предыдущей, то есть к той, которую мы уже умеем решать. При таком определении сохраняется прежний смысл степени с целым положительным показателем и вводятся степени с нулевым и целыми отрицательными показателями. При функция имеет вид и является линейной функцией Ее график есть прямая рис. На промежутке функция зависимости от показателя ведет себя поразному при четном убывает, при нечетном возрастает В итоге получаем, что при каждом нечетном функция является возрастающей на всей числовой. Особо следует отметить, что функция на промежутке убывает при каждом, но на промежутке при нечетных значениях также убывает, а при четных возрастает. При целом значении функция непрерывна своей области определения На наглядном уровне это означает, что если выбрать любое число из области определения и рассмотреть произвольную последовательность чисел, приближающихся к, то значения будут приближаться к значению С помощью понятия предела такое свойство можно выразить следующем виде. Теорема о промежуточном значении Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и, Тогда для каждого числа, заключенного между и, на отрезке найдется такое число Теорема о непрерывности монотонной функции Пусть функция определена на отрезке, монотонна и принимает все промежуточные значения между и Тогда непрерывна каждой точке отрезка.

Функция, определенная и непрерывная на промежутке, называется выпуклой вверх на этом промежутке, если для любых двух точек и из промежутка выполняется неравенство. Функция определена на луче, строго возрастает и множеством ее значений также является луч Напомним, что при значение называется арифметическим корнем степени из числа. Операция возведения рациональную степень имеет такие же свойства, как и перечисленные пункте 1 3 свойства степеней с целыми показателями Напомним еще раз основные свойства, обозначая буквами и произвольные положительные числа, а буквами и произвольные рациональные числа. Напомним, что доказательства свойств степени с рациональным показателем можно проводить, используя следующее утверждение, доказанное младших классах. Пусть, Положим, Тогда, В силу свойств степеней с целыми показателями, откуда Следовательно, Поэтому, то есть. Степень с рациональным показателем Степень положительного числа с дробным показателем, где целое, натуральное число определяется равенством.

Инструктаж учащихся о ходе работы с предлагаемым материалом, оказание консультативной помощи, первичная проверка усвоения материала. Продолжить формирование умений решать квадратные уравнения по формулам на репродуктивном уровне добиться понимания и воспроизведения программного материала. Создать условия для развития коммуникативных качеств учащихся и личностной рефлексии. Применяемая технология технология сотрудничества, информационно компьютерная технология с использованием презентации к уроку. Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема 13231382 гг его труде Алгоритм пропорций. Сегодня нас ждет интересный и необычный урок Проведем урокпутешествие страну Математика Нам необходимо пройти сложным маршрутом, преодолевая на своем пути разные преграды Цель нашего путешествия систематизировать знания по теме Степень с рациональным показателем. Понятие степени возникло старину Сохранились глиняные дощечки древних вавилонян около 1700г До, которые содержат записи таблиц квадратов и кубов и их обратных значений Термины радикал и корень, введенные 12 столетии, происходят от латинского radix, что имеет два значения сторона и корень Греческие математики вместо извлечь корень говорили найти сторону квадрата по его величине площади Знак корня таком виде, каким мы его знаем, появился впервые 1525г Современный символ корня ввел Декарт, который продлил горизонтальную черту.

Математика является одним из основных, системообразующих предметов школьного образования Такое место математики среди школьных предметов обусловливает и её особую роль с точки зрения всестороннего развития личности учащихся При этом когнитивная составляющая данного курса позволяет обеспечить как требуемый государственным стандартом необходимый уровень математической подготовки, так и повышенный уровень, являющийся достаточным для углубленного изучения предмета. Вместе с тем очевидно, что положение с обучением предмету Математика основной школе требует к себе самого серьёзного внимания Анализ состояния преподавания свидетельствует, что школа не полностью обеспечивает функциональную грамотность учащихся. Настоящая программа по математике для основной школы является логическим продолжением программы для начальной школы авторы Т Е Демидова, С А Козлова, А П Тонких и составляет вместе с ней описание непрерывного школьного курса математики. Личностными результатами изучения предмета Математика виде следующих учебных курсов 5 6 класс Математика, 7 9 класс Алгебра и Геометрия являются следующие качества. Метапредметными результатами изучения курса Математика является формирование универсальных учебных действий. Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание. Выполнять устные вычисления пределах 1 000 000 случаях, сводимых к вычислениям пределах 100, и письменные вычисления остальных случаях выполнять проверку правильности вычислений. Применять признаки и свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата при решении задач. Задачи на уравнивание Задачи на части Задачи на работу Задачи с дробными числами Задачи с альтернативным условием.

Круговые диаграммы Чтение информации, содержащейся круговой диаграмме Построение круговых диаграмм. Целые отрицательные числа Модуль числа Изображение целых чисел на числовой оси Сравнение целых чисел Арифметические операции над целыми числами, законы операций Отрицательные дроби Рациональные числа Изображение рациональных чисел на числовой оси Арифметические операции над рациональными числами, законы операций Бесконечные периодические десятичные дроби Бесконечные непериодические десятичные дроби Иррациональные числа Действительные числа Изображение действительных чисел на числовой. Простейшие формулы комбинаторики число сочетаний и число размещений Их применение при нахождении вероятностей случайных событий. Основное свойство дроби Сокращение дробей Арифметические действия с дробями Понятие степени с целым отрицательным показателем, свойства степеней с целыми показателями Стандартный вид числа Рациональные выражения Тождественные преобразования рациональных выражений. Понятие квадратного корня, арифметический квадратный корень Свойства арифметических квадратных корней Функция, её свойства и график. Определения, доказательства, аксиомы и теоремы следствия из теорем Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Функция при натуральном n её свойства и график Корень степени n особенности чётных и нечётных n Арифметический корень Свойства корней Степени с рациональными показателями, их свойства Тождественные преобразования иррациональных выражений.

Подобные многоугольники Признаки подобия треугольников Теорема о пропорциональных отрезках Свойство биссектрисы треугольника Пропорциональные отрезки прямоугольном треугольнике Пропорциональные отрезки круге Площади подобных многоугольников. При использовании компьютера учащиеся применяют полученные на уроках информатики инструментальные знания например, умения работать с текстовыми, графическими редакторами и, тем самым у них формируется готовность и привычка к практическому применению новых информационных технологий. Урок зачет рассчитан на два урока, на первом идет повторение по каждой теме, на втором выполняется контрольная работа За работу на уроке зачете можно выставить три отметки за каждый вид работы, можно одну итоговую. Кабардин О Ф Земляков А Н Тестирование знаний и умений учащихся Советская педагогика 1991, 12. Майоров А Н Теория и практика создания тестов для системы образования М Народное образование Некоторые методы и приёмы тркм на уроках математики Работу Вызов Учащиеся формулируют вопросы разных уровней по новой теме Стадия осмысления Работа с текстом учебника Чтение стопами Работа. Дата проведения Зачет мини тест по теме Кинематика Самостоятельное выполнение тестовых заданий с последующим разбором решения. Одна из основных целей последнего этапа привести систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степенях, ввести понятие степени с любым действительным показателем В зависимости от реальной подготовки класса эти уроки разрабатываются либо как уроки повторения, либо как уроки изучения нового материала Целесообразно иметь таблицу рис.

Тема нашего урока Степень с рациональным показателем На предыдущем уроке мы с вами рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, вывели формулы для свойств степени Сегодня мы должны будем все это повторить и сформировать умения применять эти свойства на практике. Знаете ли вы, что такое царственная осанка Попробуем принять царственную позу спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное ведь вы знаете такое количество формул, которое не по силам и царственным особам Теперь очень быстро активизируем свой мозг Для этого интенсивно промассируем межбровную точку указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений одну сторону и другую Повторим это 2 3 раза. Прежде, чем приступать к решению самостоятельной работы покрутите головой, найдите на стенах класса понравившийся тренажёр для глаз, пройдите глазками по стрелкам 3 5 раз Не забывайте делать похожие упражнения дома во время выполнения домашней работы, работой за компьютером или просмотром телевизора Не забывайте постоянно следить за своей царственной осанкой и дома, и на улице Этим вы устраняете всякие нежелательные изменения своём позвоночнике и не так сильно утомляетесь А главное, хорошо выглядите. Домашнее задание 28, выполнить задания письменно 597, 599, 603 для всего класса 605 дополнительное задание. Происхождение фашизма В определенном смысле мировоззрение двухсотлетней давности может быть названо рациональным. Урок алгебры 9 классе по теме Степень с рациональным показателем и её свойства Тип урока. Если а 0, m Z, n N, то Т 8 Свойства степени с рациональным показателем. Методы наглядный, словесный, графический, условносимволический, исследовательский. Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно.

Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво да сами. Истинное знание состоит не знакомстве с фактами, которое делает человека лишь педантом, а использовании фактов, которое делает его философом. Термин рациональное число произошел от латинского слова ratio, что переводе означает отношение дробь. Возвести число натуральную степень значит умножить число само на себя. Кубический корень из числа это число, куб которого равен Кубический корень определен для всех Его можно извлечь из любого числа. Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым. Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число. Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках. Ребята, на этом уроке мы займемся обобщением знаний о показателях степеней Мы умеем вычислять степени с любым целочисленным показателем Как быть, если показатель степени не целое число И какая связь между корнями и степенными функциями не целого показателя.

Во всех представленных выше правилах, показатель степени целое число Как быть случае дробного показателя степени Что представляет из себя число 2 и как с ним работать При работе с такими степенями нужно, чтобы все свойства для целочисленных степеней сохранялись Например, при возведении степени степень показатели перемножались. Определение Пусть нам дана обыкновенная дробь frac, b 1 и 0, тогда x. Пример Решить уравнения а sqrt 5 1 x 1 Решение а Возведем обе части уравнения пятую степень x. Автор Григорий Андреев Опубликовано 10 апреля 2017 Обновлено 10 апреля 2017 Просмотров. Планируемые результаты обучения учся должны знать определение степени с рациональным показателем и ее свойства, уметь применять эти свойства при упрощении выражений, содержащих степень с рациональным показателем. АктуализацияСлово учителя На прошлых уроках мы говорили о свойствах степени с рациональным показателем Сегодня мы закрепим понятие степени и ее свойства и отработаем навыки применения ее свойств при упрощении выражений, содержащих степень с рациональным показателем Т подведем итог наших знаний о степени вообще. Итак, первое задание Перед тем, как приступить к выполнению упражнений, необходимо вспомнить, как определяется степень с рациональным показателем Для этого карточках с таблицей отметьте, пожалуйста, верные ответы. Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b выполняются следующие равенства 1 2 3 4 5 6 Если, то для для 7 Если, то для.

Функция, где и, называется показниковою с основой а Свойства показательной функции 1 1 2 2 3 Функция не является ни четным, ни нечетным 4 График функции расположен верхней півплощині, пересекает ось Оу точке 0 1, ось Ох является для него асимптотою 5 Функция возрастает 5 Функция спа на R дает на R 6 Если, то 7 Если, то существует, и к тому же единственное, значение x при котором Т уравнение всегда имеет решение, и к тому же единственный, если, На рисунке внизу слева изображен график показательной функции при на рисунке 1 при Рис 1 Рис. Здесь Вы можете скачать готовую презентацию на тему Степень с рациональным показателем Предмет презентации Математика Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию нажмите на соответствующий текст под плеером Презентация содержит 14 слайдов. Лаборатория Основы p Д а о и с и с о о к а а p Д я к а к о о о о о о к а а я о а с с о с о а и а у p О я с я и с с о о к а а я о и а о о о с о а. У о с и а и я и и с и и а и я и я я с о с а с и 1 2 12, 5. Отправить свою хорошую работу базу знаний просто Используйте форму, расположенную ниже. Средства систематизации учащихся при обучении старших школьников и их влияние на математическую подготовку Методика обучения учащихся систематизации учебного материала на уроках алгебры Цели и содержание темы Показательные и логарифмические уравнения. Предпосылки развития функциональной содержательнометодической линии курсе алгебры основной школы Определение понятия функции Методика изучения прямой и обратной пропорциональной зависимости, линейной, квадратной и кубической функции VII классе. Наглядность как дидактический принцип обучения Особенности преподавания геометрии содержательные и методические аспекты Мультимедийные презентации как эффективное средство наглядного представления учебного материала на уроках геометрии средней школе. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем Таким образом для любого основания степени где Можно построить функцию область определения которой множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы возрастании, рациональное приближение иррационального числа r 1 r 2 Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a r 1 и наименьшим среди всех a r 2 которое можно считать значением. Рассматриваются свойства и графики трех элементарных функций показательной, логарифмической и степенной Систематизация свойств указанных функций осуществляется соответствии с принятой схемой исследования функций Достаточное внимание должно быть уделено работе с логарифмическими тождествами тождественные преобразования логарифмических выражений применяются как при изложении теоретических вопросов курса например, при выводе формулы производной показательной функции, так и при выполнении различного рода упражнений, например, решение логарифмических уравнений и неравенств. Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности Рассматриваются примеры различных процессов например, радиоактивный распад, изменение температуры тела показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

Логарифмическая функция новый математический объект для учащихся К понятию логарифма учащихся подводят процессе решения показательного уравнения a x b том случае, если b нельзя представить виде степени с основанием a Наше уравнение случае b 0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log a b, a logab b Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции. Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются обоих направлениях слева направо и наоборот. Операции с корнями Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень подкоренное выражение положительно. До сих пор, говоря о тригонометрических функциях, мы считали, что аргументами этих функций являются углы или дуги Теперь мы хотим ввести рассмотрение тригонометрические функции числового аргумента Такое желание вполне естественно Когда мы говорим, например, о квадратной функции у а 2 то под понимаем просто число Это число может характеризовать время свободном падении тел S gt 2 2, сопротивление электрической цепи законе Джоуля Ленца Q IR 2 и Почему же таком случае, говоря, например, о функции у tg x мы под должны понимать обязательно угол. Значения переменных, при которых алгебраическое выражение P имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных Множество всех допустимых значений переменных называют областью допустимых значений переменных. Функция y f x называется нечетной если для любого x из области определения функции выполняется равенство f. Планконспект урока на тему Степень с рациональным показателем 10 класс Анализ урока на основе системного подхода. Планконспект урока на тему Степень с рациональным показателем 10 класс.

Тип урока Урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий Методы обучения беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа Средства обучения доска с отворотами, учебник Форма обучения коллективная, индивидуальная Форма учебного занятия классноурочная Структура учебного занятия 1 Организационный этап 1 минута 2 Актуализация опорных знаний и способов действий 4 минуты 3 Изучение нового материала 6 минут 4 Этап первичной проверки понимания нового материала 6 минут 5 Этап первичного закрепления и применения изученного материала 24 минуты 6 Подведение итогов 2 минуты 7 Информация о домашнем задании 1 минута 8 Рефлексия 1 минута Ход учебного занятия 1 Организационный этап 1 минуты Представляюсь, проверяю готовность учащихся к уроку, наличие мела, влажной губки, порядок кабинете, дежурные перечисляют отсутствующих. Тема урока Степень с рациональным показателем При подготовке к данному уроку мною были поставлены следующие цели 1 Образовательная актуализировать субъектный опыт учащихся опорные знания и способы действий, комплекс знаний, необходимый для изучения нового материала организовывать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий 2 Развивающая развивать умения применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, развитие умений учебного труда умение работать темпе 3 Воспитательная создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитания мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы коллективе. Дидактическая цель начале урока была четко определена определен уровень и объем усвоения знаний учащихся, учащиеся должны были усвоить такое понятие как степень с дробным показателем, понять особенности использования данного понятия при выполнении различных упражнений и уметь самостоятельно применять его на практике, пополнить понятийный научный аппарат на мой взгляд, уровень формирования умений учащихся был определен четко Цель преемственна, диагностична так как имеет непосредственную связь как с прошлым опытом учащихся на этом уроке при вводе определения использовались определения степени с целым показателем, арифметического корня и его свойства, изученные ранее, так и с последующими учебными занятиями использование изученного определения при решении задач, самостоятельное применение знаний при выполнении самостоятельной работы, применение знаний измененных ситуациях при решении задач, подобных рассмотренным на уроке, но уже более сложных.

 

© Copyright 2017-2018 - articles-seminary.ru